韦达定理（二次）：设一元二次方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根为 x₁ 和 x₂，则有：

• 两根之和 = 一次项系数除以二次项系数，再取相反数。
• 两根之积 = 常数项除以二次项系数。

• 两根之和 = 一次项系数取反 ÷ 二次项系数
• 两根之积 = 常数项 ÷ 二次项系数
• |x₁-x₂| = √Δ/|a|（Δ≥0）

韦达定理（一般形式）：设 n 次多项式 a_n xⁿ + ... + a₀ = 0 的根为 r₁,...,r_n，则所有取 k 个根相乘后求和 = (-1)^k·a_{n-k}/a_n。这些求和式正是初等对称多项式。韦达定理实质上断言：根的基本对称函数由系数唯一确定。

推导思路：韦达定理的推导极其简洁——将方程写成根的形式 \(a(x-x_1)(x-x_2)=0\)，展开后与标准形式逐项对比系数即可。

韦达定理与判别式 Δ = b²-4ac 配合使用：

• 两根之差：|x₁-x₂| = √Δ/|a|
• 平方和：x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂
• 立方和：x₁³+x₂³ = (x₁+x₂)³ - 3x₁x₂(x₁+x₂)
• 倒数和：1/x₁+1/x₂ = (x₁+x₂)/(x₁x₂)

• x₁²+x₂² = (x₁+x₂)² − 2x₁x₂
• x₁³+x₂³ = (x₁+x₂)³ − 3x₁x₂(x₁+x₂)
• 1/x₁+1/x₂ = (x₁+x₂)/(x₁x₂)
• 一般 n 次：Σrᵢ₁…rᵢₖ = (−1)ᵏ aₙ₋ₖ/aₙ

韦达定理的优雅之处在于它自然地推广到任意次数：

三次方程 ax³+bx²+cx+d=0

n 次方程的统一规律

符号交替：奇数个根的乘积对应负号，偶数个对应正号。分母永远是首项系数 a_n（首一多项式分母消失）。

ax³+bx²+cx+d=0 的三根 x₁,x₂,x₃：

对称多项式基本定理：每个对称多项式都可以用初等对称多项式（即韦达定理中的和式）表达。像 x₁²+x₂²+…+xₙ²（幂和）、∏(xᵢ−xⱼ)²（判别式）这样的表达式，都可以写成系数 aᵢ 的有理函数——无需知道每个根的具体值。

这一性质的群论推广是：对称群 Sₙ 作用在根上的不变量恰好是系数的函数——这正是伽罗瓦理论的出发点。从韦达到伽罗瓦，中间隔了约250年，但思想脉络是一贯的：根→对称关系→群→方程可解性。韦达定理是这个故事的第一章。

韦达定理在复数域中依然成立——这是代数封闭性的体现。即使二次方程的 Δ<0，两根为共轭复数，它们的和仍是实数 -b/a，积仍是实数 c/a。初等对称多项式将复数世界的信息"编码"进了实数世界。

• 核心公式：二次：x₁+x₂=-b/a, x₁x₂=c/a。三次：和=-b/a, 两两积和=c/a, 积=-d/a。n次：第k个初等对称多项式 = (-1)^k·a_{n-k}/a_n。
• 本质洞察：根的基本对称函数由系数完全确定。反过来，如果已知所有初等对称多项式的值，根也被确定——根与系数之间是双向对应关系。
• 理论延伸：韦达定理→对称多项式基本定理→对称群不变量→伽罗瓦理论。这条线索贯穿近世代数四个世纪的发展。

"在看似普通的公式背后，往往隐藏着最深刻的结构。"——韦达定理正是这句话的完美注脚。

• 韦达定理是什么：二次方程 ax²+bx+c=0 的根满足 x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。
• 能用它做什么：验根；已知一根求另一根；已知和与积构造方程；计算对称式。
• 思维启示："整体先于部分"——先把握关系，再考虑个体。

把这三条记住，你已经掌握了韦达定理入门版的核心。