万理百知 · 数学全领域 从算术到拓扑，从数论到密码学，完整数学百科全书
算术与初等数学
基础算术
自然数整数有理数加法与减法乘法与除法正数与负数分数小数百分数比例与比值质数与合数因数与倍数最大公因数最小公倍数奇数与偶数整除规则算术基本定理四舍五入科学记数法
初等代数基础
用字母表示数代数式与代数式的值一元一次方程解方程入门一元二次方程韦达定理判别式多项式因式分解指数与对数等差数列等比数列二项式定理数学归纳法分式方程不等式解法绝对值方程二元一次方程组三元一次方程组一元三次方程根与系数关系
初等函数
函数的概念一次函数二次函数反比例函数指数函数对数函数幂函数三角函数初步正弦函数余弦函数正切函数反三角函数函数的图像变换函数的奇偶性函数的单调性函数的周期性函数的最值复合函数反函数
代数
线性代数
二维坐标与向量向量的加法与减法数乘向量向量的点积向量的叉积高斯消元法直观矩阵定义与运算矩阵乘法矩阵的转置逆矩阵行列式克拉默法则线性方程组求解向量空间子空间线性相关与线性无关基与维数坐标变换线性变换特征值与特征向量矩阵对角化二次型内积空间正交矩阵施密特正交化奇异值分解最小二乘法线性回归主成分分析LU分解QR分解矩阵的秩零空间与列空间
抽象代数
对称性思想整数加法群模运算入门置换与排列循环规律群的定义子群陪集正规子群商群循环群置换群环的定义整环域的定义理想商环多项式环域扩张伽罗瓦理论有限域模论李群李代数表示论基础交换环诺特环素理想与极大理想局部化整闭性戴德金整环赋值环维数理论正则环
几何
欧几里得几何
点直线平面线段与射线角的认识直角与垂直平行与平行线三角形四边形正方形与长方形平行四边形菱形与梯形圆形多边形正多边形周长与面积体积与表面积勾股定理黄金比例欧几里得几何公理圆周率全等三角形判定相似三角形判定三角形的心重心垂心内心外心圆幂定理圆周角定理托勒密定理梅涅劳斯定理塞瓦定理解析几何基础直线方程圆的方程椭圆方程与性质双曲线方程与性质抛物线方程与性质圆锥曲线综合参数方程极坐标立体几何空间向量平面与直线的位置关系空间角与距离多面体旋转体欧拉公式球面几何初步分形几何曼德博集合朱利亚集合
非欧几何
双曲几何椭圆几何罗巴切夫斯基几何黎曼几何测地线曲率高斯曲率高斯博内定理常曲率空间庞加莱圆盘模型双曲平面
微分几何
曲线论曲率与挠率曲面论第一基本形式第二基本形式平均曲率测地线方程黎曼流形联络与协变导数黎曼曲率张量里奇曲率标量曲率爱因斯坦场方程
拓扑学
点集拓扑
什么是拓扑莫比乌斯带克莱因瓶橡皮膜几何连通与洞拓扑空间定义开集与闭集连续映射同胚紧致性连通性分离公理可数公理度量空间拓扑流形单纯复形
代数拓扑
基本群覆盖空间同伦论同伦群同调论奇异同调上同调论上同调环庞加莱对偶示性类陈类配边论K理论稳定同伦论
分析
微积分
函数极限数列极限极限的严格定义连续与间断导数定义导数的几何意义求导法则高阶导数微分中值定理罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理洛必达法则泰勒公式泰勒展开不定积分积分基本法则定积分定义牛顿莱布尼茨公式定积分的几何应用反常积分重积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分格林公式高斯公式斯托克斯公式隐函数定理常数变易法微分方程初步可分离变量方程一阶线性微分方程二阶常系数线性微分方程
实分析
实数的完备性上确界与下确界勒贝格测度可测函数勒贝格积分控制收敛定理Lp空间索伯列夫空间拉东尼科迪姆定理泛函分析基础贝尔纲定理
复分析
复数与复平面复数的代数形式复数的极坐标形式解析函数柯西黎曼方程柯西积分定理柯西积分公式洛朗级数留数定理共形映射黎曼映射定理调和函数整函数亚纯函数模形式
泛函分析
赋范线性空间巴拿赫空间希尔伯特空间内积空间正交基线性算子有界线性泛函对偶空间开映射定理闭图像定理哈恩巴拿赫定理一致有界原理谱理论紧算子自伴算子
调和分析
傅里叶级数傅里叶变换离散傅里叶变换卷积帕塞瓦尔定理小波变换奇异积分哈代空间乘子理论
概率论与统计
概率论
可能性与概率掷硬币与掷骰子概率的定义概率的加法规则概率的乘法规则期望的直观理解概率空间条件概率全概率公式贝叶斯定理随机变量分布函数概率质量函数概率密度函数数学期望方差与标准差协方差与相关系数矩母函数大数定律中心极限定理
常见分布
伯努利分布二项分布泊松分布几何分布超几何分布均匀分布正态分布指数分布伽马分布贝塔分布卡方分布t分布F分布对数正态分布威布尔分布
统计推断
数据收集与整理条形图与饼图直方图与箱线图平均数中位数众数极差与四分位距参数估计点估计极大似然估计贝叶斯估计区间估计置信区间假设检验原理p值t检验卡方检验方差分析回归分析线性回归逻辑回归非参数统计
随机过程
马尔可夫链泊松过程布朗运动随机游走鞅论平稳过程时间序列伊藤积分随机微分方程
数论
初等数论
整除性带余除法欧几里得算法同余费马小定理欧拉定理欧拉函数威尔逊定理中国剩余定理二次剩余勒让德符号雅可比符号二次互反律丢番图方程佩尔方程勾股数原根指数与原根连分数
解析数论
素数定理黎曼ζ函数狄利克雷级数L函数哥德巴赫猜想孪生素数猜想狄利克雷定理筛法理论圆法指数和估计
代数数论
代数数域代数整数整数环理想分解类数单位群狄利克雷单位定理分歧理论局部域类域论椭圆曲线
离散数学
组合数学
计数原理排列与组合阶乘二项式系数容斥原理鸽笼原理生成函数递推关系卡特兰数斯特林数贝尔数错位排列组合设计拉丁方区组设计有限几何
图论
顶点与边路径与回路树与生成树七桥问题欧拉图哈密顿图二部图平面图图的着色四色定理匹配理论网络流最大流最小割定理拉姆齐理论
代数几何
仿射簇与射影簇
多项式环代数集扎里斯基拓扑仿射簇坐标环希尔伯特零点定理奇点理论射影空间射影簇齐次多项式除子线丛黎曼罗赫定理椭圆曲线
概形论与算术几何
仿射概形概形态射平展上同调ℓ-adic上同调韦伊猜想Hodge结构卡拉比丘流形K3曲面阿贝尔簇镜像对称有理点莫德尔猜想BSD猜想模曲线p进上同调
计算数学
数值分析
近似与误差插值思想数值计算的意义拉格朗日插值牛顿插值样条插值曲线拟合最小二乘法数值微分数值积分梯形公式辛普森公式常微分方程数值解欧拉方法龙格库塔方法偏微分方程数值解有限差分法有限元法谱方法
科学计算与优化
线性方程组求解高斯消元法LU分解共轭梯度法特征值计算QR算法快速傅里叶变换蒙特卡罗方法并行计算线性规划单纯形法对偶理论整数规划非线性规划梯度下降法牛顿法凸优化进化算法模拟退火遗传算法
运筹学
运筹优化
什么是线性规划资源分配问题目标函数与约束运输问题指派问题网络流规划最大流问题最短路问题最小生成树旅行商问题背包问题设施选址调度问题车间调度动态规划排队论
博弈论
囚徒困境占优策略纳什均衡思想纳什均衡零和博弈重复博弈拍卖理论机制设计
密码学
密码学基础
什么是密码凯撒密码替换密码维吉尼亚密码恩尼格玛密码机DES算法AES算法分组密码流密码SM4算法加密模式公钥与私钥RSA原理直观RSA算法椭圆曲线密码DH密钥交换数字签名DSA算法ECDSA算法同态加密格密码哈希函数MD5算法SHA算法SM3算法哈希碰撞消息认证码默克尔树后量子密码格基密码LWE问题NTRU算法多变量密码基于编码的密码Kyber算法TLS协议安全多方计算零知识证明秘密共享不经意传输区块链密码学
集合论与逻辑
集合论
集合的概念元素与属于关系并集与交集补集与差集子集与空集文氏图罗素悖论ZF公理系统选择公理序数与基数可数集不可数集连续统假设势的比较力迫法大基数
逻辑学
命题与真值与或非逻辑运算蕴含与等价真值表逻辑推理基础谓词逻辑量词自然演绎哥德尔完备性定理哥德尔不完备定理停机问题图灵机可计算函数可判定性递归可枚举集度理论模型论结构与语言紧致性定理Löwenheim Skolem定理超积类型空间证明论直觉主义逻辑类型论简单类型λ演算依值类型马丁洛夫类型论同伦类型论柯里霍华德同构
应用数学
数学物理
偏微分方程波动方程热传导方程拉普拉斯方程薛定谔方程麦克斯韦方程组纳维斯托克斯方程孤子理论
数学与其他学科
数理经济学均衡理论一般均衡生产函数经济计量学金融数学布莱克舒尔斯模型期权定价风险中性测度伊藤引理投资组合理论数学生物学种群模型Lotka Volterra方程流行病模型SIR模型基因调控网络数学工程信号处理图像处理小波变换压缩感知控制理论最优控制计算流体力学